三种方法推导 圆的面积公式 - 微积分应用
本文通过3种方法推导出圆的面积公式。
其中2种用到了微积分
1）过圆心将圆无限切割成上下2块锯齿状图形
2）将2块锯齿状图形合并成一个长方形
3）圆面积=长方形面积
1）将半径为R的圆切割成很多厚度为dr的圆环
圆环
2）任取一圆环分析。
假设从大圆圆心到圆环长度为r，
当dr趋近于0时，将圆环展开后的图形近似为一个长方形。
如下图：
任取一圆环分析
3）将所有的圆环展开，得到类似下图：
利用积分形式同样可得到：
1）将圆无限分割成厚度为dr的薄片
2）分析其中任意一张薄片AB(位于 4分之1圆 内)：
假设 圆的半径为 R，圆心到薄片的距离为r，薄片的厚度为dr，角度为θ
则薄片的面积：
等价于积分形式：
这种积分形式比较难以求解，采用换元法求解：
代入上式：
得到圆的面积：
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